anel artiniano

Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal. Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra. O caracteriza todos os anéis artinianos como sobre um . Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita. Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à , em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um não precisa ser um .