Dirichlets delarproblem

Inom talteori är Dirichlets delarproblem ett klassiskt problem om tillväxten av summafunktionen av delarantalet. definieras som där är antalet delare av n. Att hitta en sluten formel för denna funktion är ett extremt svårt problem, men det går att härleda goda approximationer. Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att där är Eulers konstant där Dirichlets delarproblem frågar följande: vad är infimum för alla tal förvilkar which gäller för alla . Många av metoderna inom detta problem kan användas inom som är ett relaterat problem med en annan aritmetisk funktion * 1904 bevisade att feltermen kan förbättras till * 1916 bevisade G.H. Hardy att . Han bevisade att för någon konmstant finns det värden på x så att och värden x så att. * 1922 förbättrade Dirichlets resultat till * 1928 förbättrade han sitt resultat något till * 1950 bevisade och oberoende av Chih 1953 att * 1969 bevisade att . * 1973 bevisade han att . * 1982 förbättrade han sitt resultat något till . * 1988 bevisade och att * 2003 förbättrade detta till Så det äkta värdet av är någonstans mellan 1/4 och 131/416 (approximativt 0.3149); det har förmodats att den är precis lika med 1/4. Direkt beräkning av stöder det, då verkar vara approximativt normalt fördelat med standarddevitation 1 för x ända upp till minst 1016. Värdet 1/4 skulle även följa av en förmodan om .