equipotencia de conjuntos

En matemáticas, dos conjuntos A y B son equipotentes o equinumerosos si existe una biyección entre ellos, es decir, si existe una función de A en B tal que para cada elemento y de B, existe exactamente un elemento x de A tal que f(x)=y.​ Los conjuntos equipotentes tienen el mismo cardinal (número de elementos).​ El estudio de la cardinalidad suele denominarse equipotencia de conjuntos o equinumerosidad. La expresión A y B son conjuntos equipotentes se denota: o , o . La definición como biyección de equipotencia puede aplicarse para conjuntos tanto finitos como infinitos y permite determinar si dos conjuntos son del mismo tamaño incluso si son infinitos. Georg Cantor, el fundador de la teoría de conjuntos, demostró en 1874 que existen más de un tipo de infinito, concretamente que la colección de los números naturales y la colección de los números reales, a pesar de ser ambos infinitos, no son equipotentes (véase el ). En un controvertido escrito de 1878, Cantor define el término de "potencia" de un conjunto para usarlo y probar que los conjuntos de los números racionales y los números naturales son equipotentes (un ejemplo de que un subconjunto propio de un conjunto infinito es equipotente al conjunto original), y que el producto cartesiano de un número infinito numerable de copias de los números reales es equipotente a una sola copia de los números reales. El Teorema de Cantor de 1891 establece que ningún conjunto es equinumeroso a su conjunto potencia (conjunto de todos sus subconjuntos).​ Esto permite definir infinitos cada vez mayores comenzando por un solo conjunto infinito. Si se mantiene el axioma de elección, entonces el número cardinal de un conjunto puede considerarse como el menor número ordinal de ese cardinalidad (véase ). De otro modo, puede considerarse (por la ) como un conjunto de grado mínimo con ese cardinal.​ La proposición "dos conjuntos son o bien equipotentes, o bien uno tiene menor cardinal que el otro" es equivalente al axioma de elección.​