Funktional

Als Funktional bezeichnet man in der Mathematik in der Regel eine Funktion, deren Definitionsmenge als Teilmenge in einem Vektorraum enthalten ist, während ihre Zielmenge in dem zugehörigen Skalarkörper liegt. Der Funktionalbegriff ist eng verbunden mit dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, welches daraus seinen Namen gewonnen hat, da es aus dem Studium solcher Funktionale hervorgegangen ist. Hier ist der untersuchte Vektorraum zumeist ein Funktionenraum, also ein Vektorraum, dessen Elemente reell- oder komplexwertige Funktionen sind, wobei diesen durch Funktionale Skalare zugeordnet werden. Als bedeutendes Beispiel eines solchen Funktionals kann etwa das Lebesgue-Integral gelten. Dieser Artikel behandelt die (am meisten untersuchten) Fälle, in denen als Skalarkörper der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen zugrunde liegt und die Definitionsmenge des jeweiligen Funktionals mit dem Vektorraum zusammenfällt. Als grundlegende Unterscheidung ist dabei sinnvoll, lineare und nichtlineare Funktionale gesondert zu betrachten, da diese beiden Arten von Funktionalen auf sehr unterschiedliche Weise in der Mathematik behandelt werden.