線型近似

数学における線型近似（せんけいきんじ、英: linear approximation）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。 例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、 と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。 をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。 線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数 f(x, y) は、(a, b) に十分近い (x, y) においては次のように近似できる。 右辺は z = f(x, y) のグラフの (a, b) における接平面の表式となっている。 さらに一般に、バナッハ空間においては と表される。ここで Df(a) は f の a におけるフレシェ微分である。