équation de Mathieu

En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIXe siècle. C'est un cas particulier de l'équation de Hill : où est une fonction périodique, avec : , périodique de période T=π. Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique. Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu. * G. W. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable. * G. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet) * Félix Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques) : on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin. * Le pendule paramétrique (le botafumeiro par exemple) relève aussi de cette équation. * Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.