Teorema della funzione aperta

In analisi complessa, il teorema della funzione aperta afferma che se U è un sottoinsieme aperto e connesso del piano complesso C e f : U → C è una funzione olomorfa non costante, allora f è una funzione aperta (cioè manda sottoinsiemi aperti di U in sottoinsiemi aperti di C). L'enunciato mette in evidenza la profonda differenza tra il concetto di derivabilità nel campo complesso (olomorfia) e quello di differenziabilità per le funzioni reali. Sulla retta reale, ad esempio, la funzione f(x) = x2 è derivabile ovunque (infinite volte) ma non è una funzione aperta, dal momento che l'immagine dell'intervallo aperto (−1, 1) è l'intervallo semiaperto [0, 1). Il teorema, ad esempio, implica che una funzione olomorfa non costante non può trasformare un in una porzione di una qualsiasi linea immersa nel piano complesso. Se f : U → C è una funzione olomorfa (dove U è un insieme definito come nell'enunciato), allora la dimensione reale dell'immagine f(U) (intesa considerando la struttura dello spazio R2, soggiacente a C) può essere zero (se f è costante) o due (per f non costante), ma non può avere mai dimensione 1.