pendolo

Se accelerazione di gravità , velocità iniziale e direzione iniziale del filo sono complanari il pendolo oscilla in un piano verticale, descrivendo in particolare una traiettoria circolare, a causa dell'inestensibilità del filo. Se si scelgono coordinate polari (come illustrato nel disegno), si possono scrivere le equazioni del moto, che assumono la seguente forma: La prima equazione corrisponde alla componente radiale di e la seconda alla componente tangenziale. è la tensione del filo. Ora, essendo la lunghezza del filo costante nel tempo per ipotesi, si deve avere: ed inoltre le masse, che compaiono ad ambo i membri si semplificano. Si ottengono quindi le equazioni più semplici: dove la lunghezza costante del filo è stata indicata, come è consuetudine, con la lettera invece che, come in precedenza, con . Notiamo ora che l'equazione che ci interessa, in quanto determina il moto angolare del pendolo (l'unico non banale, essendo il moto radiale nullo), è solo la seconda, mentre la prima risulterebbe utile solamente per determinare, in seguito, la tensione del filo. Scegliamo di approssimare la seconda equazione per piccoli angoli, ovvero considerando solo il termine lineare nello sviluppo in serie di Taylor del seno: che è l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico di pulsazione . Diventa così possibile determinare anche il periodo T di una oscillazione completa, ovvero il tempo impiegato dal pendolo per andare da un estremo all'altro e ritornare nell'estremo iniziale. Si trova: La legge di oscillazione è dunque indipendente dalla massa e, nell'ipotesi di piccoli angoli (tipicamente, non superiori a 10°), si riduce ad un oscillatore armonico, indipendente quindi anche dall'ampiezza dell'oscillazione. Dalla relazione precedente è, dunque, possibile determinare, con un apparato di laboratorio come quello in foto, misurato il periodo T di una singola oscillazione e la lunghezza l del pendolo, il valore di g, che rappresenta la stima del valore dell'accelerazione di gravità del luogo in cui viene eseguita la misura sperimentale, ovvero: Ovviamente, al fine di ridurre gli errori di misura del periodo T, è bene misurare il tempo necessario all'apparato per compiere un cospicuo numero di oscillazioni (tipicamente 10-15 oscillazioni, dopo aver fatto compiere al pendolo alcune oscillazioni iniziali non cronometrate), ripetere più volte la misura e, quindi, dividere il tempo medio misurato per le n oscillazioni per il numero di oscillazioni stesse, determinando così il tempo necessario per una singola oscillazione, che rappresenta, appunto, il periodo T del pendolo considerato. Se però l'ampiezza dell'oscillazione non è piccola, si può dimostrare che il periodo del pendolo dipende da essa secondo la formula dove è l'integrale ellittico completo di prima specie, valutato in . I primi due termini dello sviluppo in serie di potenze dell'integrale forniscono l'espressione approssimata a meno di un infinitesimo dell'ordine di . L'approssimazione per piccoli angoli va bene per ottenere una formulazione semplice dell'integrazione dell'equazione differenziale. La differenza tra il valore dell'angolo esatto e quello ottenuto tramite approssimazione non è impercettibile se il pendolo viene usato per orologi che devono contare tempi molto lunghi (vedi più avanti "Pendolo cicloidale").