grupo pontual de simetria

Em geometria e cristalografia, um grupo pontual é um grupo de simetrias geométricas que mantém constante pelo menos um ponto fixo. Os grupos pontuais podem existir em um espaço euclidiano de qualquer outra dimensão, e cada grupo pontual na dimensão d é um subgrupo do grupo ortogonal O(d). Os grupos pontuais podem ser considerados como um conjunto de matrizes ortogonais M que transformam um ponto x em um ponto y: y= M.x onde a origem é o ponto fixo. O elementos dos grupos pontuais podem ser: rotações (determinante de M= 1) rotações impróprias, reflexões, rotações-reflexões, ou roto-reflexões (determinante de M= -1). Todos os grupos pontuais das rotações de dimensão d são subgrupos do grupo ortogonal especial SO(d). Os grupos pontuais discretos em mais de uma dimensão se agrupam em famílias infinitas, porém pelo e por um dos teoremas de Bieberbach, cada número de dimensões só tem um número finito de grupos pontuais que são simétricos em relação a uma retículo com esse número de dimensões. Estes são os .