anel de polinómios

O anel de polinômios com coeficientes em um anel qualquer e qualquer número de indeterminadas é a generalização dos anéis como , dos polinômios com coeficientes reais p(x) = a0 + a1 x + ... + an xn. De forma genérica, para definir-se o anel dos polinômios precisa-se: * um anel A dos coeficientes; * um conjunto S das indeterminadas. As indeterminadas aqui tem um significado puramente abstrato, não sendo exigido que S tenha nenhuma estrutura. Assim, é conveniente que S seja um conjunto de símbolos, e (para evitar ambiguidades) que seja disjunto de A. Um polinômio com coeficientes em A e indeterminadas em S pode ser: * o polinômio nulo, denominado 0 (exceto quando haja necessidade de fazer alguma diferença entre este polinômio e o elemento neutro de A; neste caso, podem-se usar índices para marcar a diferença entre eles: 0A e 0A[S]). * os monômios, que são representados pela justaposição de um elemento (não-nulo) de A seguido de um número finito de elementos de S (podendo ser nenhum) elevados a uma potência inteira positiva. Por exemplo, se e S = {x, y}, então 2, 2 x1 e 2 x² y³ são monômios. Aqui é importante notar que os produtos de potências de S comutam, por exemplo, 2 x² y³ = 2 y³ x². Quando a potência for um, representa-se o monômio sem este valor: 2 x² y1 = 2 x² y. * uma soma de dois ou mais monômios (mas sempre uma quantidade finita), em que a parte indeterminada de todas parcelas são diferentes. Novamente, esta soma é comutativa, de forma que duas somas que diferem por uma permutação das parcelas são iguais. O anel de polinômios é este conjunto A[S] com duas operações de soma de polinômios e produto de polinômios, definidas de forma que: * o polinômio nulo é elemento neutro aditivo * A[S] é um anel * o produto de monômios se comporta como se as indeterminadas comutassem entre si, e que o produto de xn e xm seja xn + m Existem várias formas equivalentes de criar modelos para A[S], por exemplo o conjunto de todos os objetos ,[1] onde , , cada -tupla de é diferente para diferente valor de , pode servir de modelo para o anel de polinômios com indeterminadas em sobre . É importante notar que essa expressão é puramente formal, não significando nenhuma operação interna dos elementos de S. No caso particular em que m = 0, temos o polinômio nulo, também representado por 0. No caso particular m = 1, temos um monômio. No caso particular m = 1 e n = 0, temos um elemento de A sendo usado para representar um elemento de A[S].