функция Вейерштрасса

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера. Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением где — произвольное нечётное число, не равное единице, а — положительное число, меньшее единицы.Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения и имеют разные знаки по крайней мере при и . Указанные последовательности могут быть определены как и где — ближайшее целое число к . Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях и было установлено Харди.