entier algébrique

En mathématiques, un entier algébrique est un élément d'un corps de nombres qui y joue un rôle analogue à celui d'un entier relatif dans le corps des nombres rationnels. L'étude des entiers algébriques est à la base de l'arithmétique des corps de nombres, et de la généralisation dans ces corps de notions comme celles de nombre premier ou de division euclidienne. Par définition, un entier algébrique est une racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans ℤ. Par exemple, le nombre 1 + √3 est un entier algébrique, car il est une racine du polynôme unitaire à coefficients entiers X2 – 2X – 2. Les nombres de la forme a + bi où a et b sont des entiers relatifs et où i désigne une racine du polynôme X2 + 1 sont aussi des entiers algébriques particuliers ; ils sont appelés entiers de Gauss. Cette définition a émergé au cours du XIXe siècle, en particulier dans les travaux de Richard Dedekind, car elle donne une notion adéquate pour développer l'arithmétique dans des corps de nombres.Un autre usage de ces nombres est la résolution d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations polynomiales à coefficients dans les entiers relatifs, et dont on recherche les solutions entières. Des exemples sont le théorème des deux carrés de Fermat, le dernier théorème de Fermat ou encore l'équation de Pell-Fermat. Par ailleurs, la compréhension de la structure d'un anneau d'entiers permet de mieux comprendre le corps d'origine. Les techniques développées pour décrire les propriétés de tels anneaux sont utilisées pour démontrer des théorèmes fondamentaux sur les corps de nombres comme celui de Kronecker-Weber.