Борновское приближение

Борновское приближение в теории рассеяния применяется для вычисления рассеяния квантовых частиц в первом порядке теории возмущений. Критерием применимости борновского приближения является, соответственно, критерий применимости теории возмущений. Так, для рассеяния частицы массы на потенциале действующем на расстоянии , приближение заведомо применимо, если потенциальная энергия много меньше энергии нулевых колебаний , т.е. . Если же не мало по сравнению с , то приближение становится применимым для достаточно быстрой частицы, для которой характерная частота пребывания в поле потенциала много больше самого потенциала, т.е. когда , где есть дебройлевская длина волны частицы. Для дифференциального сечения рассеяния (сечение в элемент телесного угла ) частицы с изменением импульса в борновском приближении получается: где — приведённая масса. Этот результат проще всего получить из вероятности перехода в непрерывном спектре плоских волн: , где есть плотность конечных состояний.Подставляя энергию свободной частицы , вычисляя матричный элемент потенциала в базисе плоских волн и интегрируя по импульсу рассеянного (конечного) состояния , мы немедленно приходим к формуле Борна. Амплитуда рассеяния в борновском приближении действительна и имеет вид: Таким образом, в борновском приближении амплитуда рассеяния является Фурье-образом рассеивающего потенциала. Действительность амплитуды рассеяния означает малость её аргумента, то есть . В борновском приближении фазы рассеяния на центрально симметричном потенциале в состояниях с угловым моментом , имеют вид: где — функция Бесселя.