эндоморфизм

Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм, отображающий алгебраическую систему в себя. В любой категории композиция двух эндоморфизмов также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта образуют моноид, который обозначается (или , чтобы подчеркнуть категорию ). Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством с естественной структурой группы, оно обозначается . Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу . С определённым таким образом сложением эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое . Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы — это кольцо всех матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.