autovetor generalizado

Em álgebra linear, um autovetor generalizado (em inglês: generalized eigenvector) de uma matriz quadrada de ordem n é um vetor de ordem n que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um autovetor ordinário. Seja um espaço vetorial n-dimensional; seja uma transformação linear em L(V), o conjunto de todas as transformações lineares de sobre si mesmo; e seja a representação matricial de em relação a alguma base ordenada. Pode não haver sempre um conjunto completo de n autovetores linearmente independentes de que formam uma base completa de . Isto é, a matriz pode não ser diagonalizável. Isto ocorre quando a multiplicidade algébrica de pelo menos um autovalor é maior que sua (a nulidade da matriz , ou a dimensão de seu espaço nulo). Neste caso, é denominado um e é denominada uma . Um autovetor generalizado correspondendo a , juntamente com a matriz , gera uma cadeia de Jordan de autovetores generalizados linearmente independentes que formam uma base para um de . Usando autovetores generalizados, um conjunto de autovetores linearmente independentes de pode ser estendido para uma base completa para . Esta base pode ser usada para determinar uma matriz quasi-diagonal em forma canônica de Jordan, semelhante a , que é de uso prático no cálculo de certas funções matriciais de . A matriz é também útil na solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias onde não precisa ser diagonalizável.