корневой вектор

Обобщённый собственный вектор матрицы — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторов. Пусть будет -мерным векторным пространством. Пусть будет линейным отображением в , множества всех линейных отображений из в себя. Пусть будет матричным представлением отображения для некоторого упорядоченного базиса. Может не существовать полного набора линейно независимых собственных векторов матрицы , которые образуют полный базис для . То есть, матрица не может быть диагонализирована. Это происходит, когда алгебраическая кратность по меньшей мере одного собственного значения больше, чем его геометрическая кратность (степень вырожденности матрицы , или размерность его ядра). В этом случае называется , а сама матрица называется . Обобщённый собственный вектор , соответствующий , вместе с матрицей образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для инвариантного подпространства пространства . Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для . Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» в жордановой нормальной форме, подобной матрице , что применяется при вычислении определённых матричных функций от . Матрица также применяется при решении системы линейных дифференциальных уравнений , где не обязательно диагонализируема. Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению , равна алгебраической кратности .