función de Gudermann

La función de Gudermann, llamada así en honor a Christoph Gudermann (1798–1852), relaciona las funciones trigonométicas y funciones hiperbólicas sin usar números complejos. Es definida mediante la integral Algunas fórmulas no funcionan completamente como definiciones. Por ejemplo, para un número real x, . (Ver funciones trigonométricas inversas.) Las siguientes identidades se cumplen: La inversa de la función de Gudermann, la cual está definida en el intervalo −π/2 < x < π/2, está dada por (Ver funciones hiperbólicas inversas.) Las derivadas de la función de Gudermann y su inversa son La expresión define la función de en geometría hiperbólica.