Полигамма-функция

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции, где — гамма-функция, а — дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда: где — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного (в указанных точках функция имеет сингулярности первого порядка). Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комплексного (в указанных точках функция имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица, В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m. Отметим, что в литературе иногда обозначается как или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция называется тригамма-функцией, — тетрагамма-функцией, — пентагамма-функцией, — гексагамма-функцией, и т. д.