superficie romana

La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari lo è. La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione . Ciò conduce alla formula implicita: Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine e latitudine, si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana: L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani , , è tangente alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato e terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in uno spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine. Esistono tipi di superficie di Steiner (classificate da Coffman, Schwartz e Stanton) fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836. Una superficie di Steiner è un polinomio quadratico nelle variabili dato superficie nello spazio tridimensionale:: Costruzione: dato lo spazio proiettivo reale, si considerino le coordinate omogenee nello spazio proiettivo 5-dimensionale, con le coordinate omogenee: