subharmonische Funktion

In der Mathematik bezeichnen subharmonische und superharmonische Funktionen wichtige Klassen von Funktionen, die ihre Anwendungen in der Theorie Partieller Differentialgleichungen, Funktionentheorie und Potentialtheorie haben. Subharmonische Funktionen sind zu konvexen Funktionen einer Variable folgendermaßen verbunden: Wenn der Graph einer konvexen Funktion und eine Gerade sich an zwei Punkten schneiden, ist der Graph der konvexen Funktion unter der Geraden zwischen diesen beiden Punkten. Auf die gleiche Art sind die Werte einer subharmonischen Funktion im Inneren einer Kugel nicht größer als die einer harmonischen Funktion, wenn dies für den Rand der Kugel gilt. Durch diese Eigenschaften können subharmonische Funktionen definiert werden. Superharmonische Funktionen können auf die gleiche Art definiert werden, wobei "nicht größer" durch "nicht kleiner" ersetzt wird. Alternativ kann eine Funktion als superharmonisch definiert werden, wenn subharmonisch ist. Daher kann jede Eigenschaft subharmonischer Funktionen leicht auf superharmonische Funktionen übertragen werden.