teorema da convolução

Em matemática, o teorema da convolução estabelece que, sob condições apropriadas, a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao das transformadas de Fourier de cada função. Em outras palavras, convolução em um domínio (e.g., no domínio do tempo) equivale a multiplicação ponto a ponto no outro domínio (e.g., no domínio da frequência). O teorema é verdadeiro para várias transformadas relacionadas à transformada de Fourier. Sejam e duas funções e sua convolução (note-se que o asterisco aqui denota a operação de convolução, e não de multiplicação; o símbolo de produto tensorial algumas vezes é usado no seu lugar.).Seja o operador transformada de Fourier, tal que e são as transformadas de Fourier de e , respectivamente. Então onde o símbolo denota multiplicação ponto a ponto. A recíproca também é verdadeira: A respeito da transformada inversa de Fourier , podemos escrever: Note-se que as fórmulas acima são válidas apenas quando a transformada de Fourier aparece na forma mostrada na seção de abaixo. A transformada pode ser normalizada de outras formas, casos em que fatores de escalamento constantes (tipicamente ou ) aparecerão nas fórmulas. Este teorema também vale para a transformada de Laplace, a transformada de Laplace bilateral e, quando convenientemente modificada, para a transformada de Mellin e para a transformada de Hartley. Ele pode ser estendido para a transformada de Fourier usada em análise de harmônicos, definida sobre grupos abelianos localmente compactos. Esta formulação é especialmente útil na implementação numérica da operação de convolução em um computador digital. O algoritmo padrão para cálculo da convolução tem complexidade computacional quadrática; lançando mão do teorema da convolução e da transformada rápida de Fourier, a complexidade pode ser reduzida a O(n log n). Ele também pode ser explorado na construção de algoritmos mais rápidos para multiplicação de funções.