przekształcenie liniowe

Przekształcenie liniowe (homomorfizm liniowy, operator liniowy, odwzorowanie liniowe, transformacja liniowa) – w algebrze liniowej jest to funkcja między przestrzeniami liniowymi zachowująca ich działania w tym sensie, że (dokładna definicja – patrz niżej): * odwzorowanie sumy wektorów z jednej przestrzeni w drugą jest równe sumie odwzorowań poszczególnych wektorów tej sumy, * odwzorowanie iloczynu wektora przez skalar jest równe iloczynowi skalara przez odwzorowanie danego wektora. Przekształcenie liniowe jest więc homomorfizmem przestrzeni liniowych. Przekształcenia liniowe są najogólniejszymi funkcjami między przestrzeniami liniowymi, zachowującymi kombinacje liniowe wektorów. Przekształcenie liniowe m.in. przekształcają proste w proste lub punkt, przy czym prosta musi przechodzić przez punkt początkowy początek przestrzeni zwany wektorem zerowym. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru z ustalonymi bazami przekształcenia liniowe opisuje się zwykle za pomocą macierzy (zob. ). Np. operacje odbicia/obrotu są operacjami liniowymi – reprezentują je macierz odbicia/macierz obrotu. Przekształcenia liniowe znajdują zastosowanie m.in. w zagadnieniach linearyzacji czy aproksymacji liniowej. Uwaga: W większości wypadków słowa „funkcja”, „przekształcenie” i „odwzorowanie” są używane zamiennie. Jednak nie można używać terminu „funkcja liniowa” wymiennie z terminem „odwzorowanie liniowe” – termin funkcja liniowa jest zarezerwowany dla funkcji na płaszczyźnie opisującej prostą.