pad

In de topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een pad door een topologische ruimte X een continue afbeelding f van het eenheidsinterval I = [0,1] op X f : I → X. Het beginpunt van het pad is f(0) en het eindpunt is f(1). Men spreekt vaak van "een pad van x naar y", waarbij x en y de begin- en eindpunten van het pad zijn. Merk op dat een pad niet alleen een deelverzameling van X is, die op een kromme lijkt, maar dat het pad ook een parametrisatie kent. De afbeeldingen f(x) = x en g(x) = x2 vertegenwoordigen bijvoorbeeld twee verschillende paden van 0 naar 1 op de . Een lus in een ruimte X kan als een continue afbeelding f : I → X worden beschouwd waar f(0) = f(1), of als een continue afbeelding van de eenheidscirkel S1 op X f : S1 → X. Dit is omdat S1 als een quotiënt van I kan worden beschouwd onder de identificatie 0 ~ 1. De verzameling van alle lussen in X vormen een ruimte, die de lusruimte van X wordt genoemd. Van een topologische ruimte, waarvoor een pad bestaat dat twee punten verbindt, wordt gezegd dat deze wegsamenhangend is. Elke ruimte kan worden opgesplitst in een verzameling van wegsamenhangende componenten. De verzameling van wegsamenhangende componenten van een ruimte X wordt vaak aangeduid door π0(X);. Men kan paden en lussen ook definiëren in gepunte ruimten, die belangrijk zijn in de homotopietheorie. Als X een topologische ruimte is met basispunt x0 , dan is een pad in X een pad, waarvan het initiële punt in x0 ligt. Op soortgelijke wijze is een lus in X een lus, die gebaseerd is op x0.