有界変動

解析学における有界変動の函数（ゆうかいへんどうのかんすう、英: function of bounded variation）あるいは有界変動函数（BV-function; BV函数）は、その変動が有界、すなわちが有限値となるような実数値函数を言う。この性質は函数のグラフが以下に述べる意味において素性のよい (well behaved) ものであることを述べるものである。話を一変数の連続函数に限定すれば、有界変動であることはその連続函数のグラフ上を奔る動点の（x-軸方向への寄与分は無視して）y-軸方向への移動距離が有限であることを意味する。多変数の連続函数の場合にもこれは同様の意味を持つのであるが、考えるべき動点の辿る連続な路としては、与えられた函数のグラフ全体（今の場合これは超曲面になる）を取ることができないという事実があるので、函数のグラフと固定された x-軸および y-軸に平行な任意の超平面との交叉を取る必要がある。 * 有界変動の函数があれば、その函数に関するリーマン–スティルチェス積分が任意の連続函数に対して定められる。 * 別な特徴付けとして、有界閉区間（コンパクト区間）上の有界変動函数は二つの有界単調増大函数の差として表される。 多変数の場合、開集合上定義された函数が有界変動となるのは、その函数の弱微分（超函数の意味での微分）がベクトル値の有限ラドン測度となるときである。 有界変動函数の最も重要な側面の一つは、その全体が殆ど至る所一階微分の存在する不連続函数の成す函数環に一致することである。この事実により、数学・物理学・工学などにおける汎函数・常および偏微分方程式を含む非線型問題の弱解を定めるのに有界変動函数を用いることが可能で、しばしば用いられる。問題やより一般の超函数に対する一般非線型演算の定義問題を考えるとき、有界変動函数の環は、乗法の結果を保つ任意の超函数空間に埋め込まれるべき最小の函数環である。